Un esquema de las fracciones

¿Ya las conocen?

Nos dicen en la escuela que una fracción es una parte de algo (o que a un entero lo partimos :o), pero también son dos cantidades que representan una relación como la razón con las cuales se construyen proporciones, también es un cociente, así como también puede denotar una escala. Es quizá por eso que es un quebradero de cabeza el poder recordar las propiedades y así poder usarlas al resolver problemas ya que puede representar muchas cosas.

La notación representa un número compuesto por la relación entre dos cantidades:

  1. Un denominador, que representa en cuantas partes esta dividida la cantidad total y siempre debe existir, es decir, es diferente de una cantidad nula (cero).
  2. Un numerador representa las partes iguales que se utilizan para completar la relación y ésta puede ser una cantidad menor, mayor o igual al denominador o puede ser nula.

Así, la fracción utiliza números naturales o enteros  para representar cualquier cantidad ya sea literal o numeral, esto dependiendo del nivel de estudios en el que se encuentra el alumno.

John Napier
John Napier

Reseña histórica

Históricamente, su uso se remonta desde las primeras civilizaciones de la humanidad, las civilizaciones antigüas lo usaron en sus diferentes sistemas de numeración. En Egipto, por ejemplo, se usaba el sistema decimal pero de una manera diferente y las fracciones tenían un significado divino. Tiempo después, los árabes adoptaron el sistema decimal hindú, debido a la expansión de su imperio éste llego a España y es por eso que nosotros lo usamos (según dicen ellos que por las buenas).

Las fracciones son un tipo de números que al igual que los números decimales, los naturales y los enteros, forman parte del campo de los números fraccionarios (Q). De hecho, un número decimal es una fracción decimal (su denominador es una potencia de diez, dicho de otro modo, se une o se parte de diez en diez) pero escrito de manera diferente, fueron muchos matemáticos (historia del punto decimal) quienes empezaron con la notación y con el tiempo se fue adoptando debido a la facilidad con que se hacían las operaciones.

Actualmente, podemos realizar cálculos utilizando cualquier representación de un fraccionario en cualquier sistema de numeración. Claro esta que depende de la habilidad del asesor para explicar las propiedades del tipo de número como del alumno de tener la disposición de aprender.

Los contenidos

La línea directriz de las fracciones en secundaria empiezan a tratarse desde el primer bloque de primer año. En los contenidos se empiezan a realizar conversiones de fracciones decimales a decimales y viceversa, su notación en la recta numérica, resolución de problemas aditivos, multiplicativos  y divisiones de fracciones y decimales.

Pero no termina ahí, ya que las fracciones son importantes para construir razones y representar proporciones, son útiles en el calculo de probabilidades, se utilizan para construir gráficas de la estadística descriptiva, así como en problemas de porcentaje y cálculo de intereses.

Un buen método de enseñanza debe guiar al alumno en ese campo de números, en cada contenido se tienen que modelar las secuencias de manera que poco a poco se complete conocer la mayoría de sus propiedades y operaciones básicas.

Si vemos la secuencia didáctica de manera general, podemos observar que se pueden utilizar dos etapas:

Las fracciones

Ojo de Horus
Ojo de Horus

Notación

Una fracción es una relación entre dos cantidades, un numerador y un denominador.
(a/b) a, numerador; b, denominador.

Clasificación

Se clasifican comparando numerador y denominador:

  • a < b, propias.
  • a = b, aparentes, el cociente es un entero.
  • a > b, impropias.
  • parte entera + fracción, mixtas.

Operaciones

Suma y resta

Analizando el valor del denominador se pueden observar tres casos, cuando los denominadores :

  • Son iguales.
  • Tienen un múltiplo común.
  • Diferentes.

En los grados quinto y sexto de primaria ya se ven los números decimales y problemas que se resuelven con el primer caso de suma y resta de fracciones.

Multiplicación

Se puede empezar multiplicando una fracción propia con un entero y resolverlo mediante sumas mediante la representación geométrica, es importante que el alumno pueda justificar sin problemas los primeros casos ya que en los últimos dos son más complejos. En la mayoría de los libros de texto la representación se realiza dividiendo rectángulos, sin embargo primero hay que enfatizar que las fracciones se utilizan en los lados y son éstos los que crean el resultado.

  • Fracción (propia e impropia) * Entero.
  • Fracción (propia e impropia) * Entero inverso.
  • Fracción (propia e impropia) * Fracción propia.
  • Fracción (propia e impropia) * Fracción impropia.

División

La división también necesita una representación geométrica y su justificación debe ser lo más clara posible, esto debido a los bajos índices en ésta área que se obtienen en pruebas realizadas.

  • Fracción (propia e impropia) / Entero.
  • Fracción (propia e impropia) / Entero inverso.
  • Fracción (propia e impropia) / Fracción propia.
  • Fracción (propia e impropia) / Fracción impropia.

Tanto la multiplicación como la división (los dos últimos casos de cada una), están relacionados entre sí. Sin embargo, la intención didáctica debe cumplir con el objetivo de darle el significado a la operación, una de los primeros ejemplos es ¿por qué 1/2 por 2 = 1? y ¿qué se obtiene al dividir 1/2 entre 1/2? y pasar a 1/2 * 1/ 2, y a 1/2 entre 2, e ir visualizando la representación al mismo tiempo que se realiza la aritmética.

Una de las maneras de visualizar el contexto es distribuir panes a personas, donde los panes indican el numerador y las personas al denominador.

Los decimales

Decimales
Decimales

Notación

La notación se realiza a partir de las clasificación de los enteros en unidades, decenas y centenas, la relación que guarda con las fracciones decimales es necesario visualizarla para representar las décimas, centésimas y milésimas.

Es una buena idea llevar el registro en una tabla donde se muestre el valor posicional de cualquier número decimal y su relación con las fracciones decimales.

Clasificación

En el momento de resolver los cocientes encontramos con diferentes tipos de decimales, los cuales se pueden clasificar en los que pueden tener un periodo infinito y los que no lo tienen.

Es importante realizar correctamente la notación de los decimales con periodo infinito y no confundirlos con los que no lo son.

Conversión

Este es un tema en el cual muchos países tienen problemas cuando se evalúan los estudiantes, si les mostramos a nuestros alumnos la relación que guardan las fracciones decimales con los decimales, y el uso del sistema decimal en el uso del algoritmo tradicional, observamos grandes avances cuando realizan sus cálculos. Dividir rectángulos para representar las décimas, centésimas y milésimas nos ayudarán en la comprensión cuando se calculan los cocientes.

El uso de la tecnología no es tan importante, en su lugar deberíamos usar material tangible como fichas de colores las cuales puedan representar potencias de diez (unidades, decenas, centenas, décimas, centésimas y milésimas).

El alumno debe comprender que la tecnología puede realizar grandes cantidades de cálculos en el menor tiempo posible, pero el razonamiento para desarrollar una estrategia de resolución solo es parte de el así que debe aprovechar al máximo las herramientas que les ofrezca el docente.

Operaciones

Multiplicación de fracciones
Multiplicación de fracciones

Suma y resta

En esta parte es bueno tener hojas cuadriculadas, el buen orden es primordial ya que el sistema decimal al ser posicional los alumnos tienden a tener errores cuando no escriben bien sus números.

Multiplicación

Para que los alumnos no tengan problemas con sus cálculos, pueden comprobar los resultados realizando la operación con fracciones decimales.

Panes
Panes

División

Las fracciones equivalentes también podrían usarse en una división de decimales, el punto decimal deben visualizarlo como fracciones decimales así que también es valido que comprueben sus resultados con el método que le corresponde.

Si bien, en primaria realizan divisiones con uno o dos valores decimales, hay que relacionar el método de resolución con la relación que tienen con las fracciones decimales y su algoritmo visto previamente.

Esquema

El siguiente esquema nos ayuda a observar cómo se da la transición de fracciones a fracciones decimales, de éstos a decimales, y viceversa y las fórmulas utilizadas para resolver las operaciones entre fracciones, se da de manera secuencial sin que se mencionen, es decir, solo como referencia para el docente.

[FRACCIONES]

a / b
a, numerador
b, denominador

[CLASIFICACIÓN]

a<b, propias
a=b, aparentes
a>b, impropias
N+a/b, mixtas (Entero + fracción)

[CONVERSIÓN]

Fracciones <–> Fracciones equivalentes <–> Fracciones Decimales <–> Decimales

[OPERACIONES]

  • Suma
    a/b + c/b = (a+c) /b
    a/b + c/bn = an/bn + c/bn = (an + c) / bn
    a/b + c/d = ad/bd + bc/bd = (ad + bc)/ bd
  • Resta
    a/b – c/b = (a-c) /b
    a/b – c/bn = an/bn – c/bn = (an – c) / bn
    a/b – c/d = ad/bd – bc/bd = (ad – bc)/ bd
  • Multiplicación
    a/b * N = a/b + a/b + a/b + … (N veces)
    a/b * 1/N = a/ bN
    a/b * b/a = ab / ab = 1
    a/b * c/d = a*c / b*d
  • División
    a/b / a/b = ab / ab = 1
    a/b / 1 = a/b
    a/b / N = a/ bN
    a/b / c/d = a/b * d/c = ad / bc

Espero que con este esquema, el aprendizaje sea más fluido para nuestros alumnos. Saludos.


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